Номер 12.5, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.5. В треугольнике ABC высота BO делит сторону AC пополам. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, $BO$ — это высота, проведенная к стороне $AC$. Из определения высоты следует, что $BO$ перпендикулярна $AC$ ($BO \perp AC$). Это означает, что углы при вершине $O$ являются прямыми: $\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$.

Также по условию дано, что высота $BO$ делит сторону $AC$ пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$, и, следовательно, длины отрезков $AO$ и $OC$ равны: $AO = OC$.

Теперь рассмотрим два треугольника, которые образуются при проведении высоты $BO$: треугольник $ABO$ и треугольник $CBO$. Сравним эти треугольники.

1. Сторона $AO$ равна стороне $CO$ ($AO = CO$) по условию.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle BOA$ равен углу $\angle BOC$ ($\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$), так как $BO$ — высота.

Таким образом, треугольник $\triangle ABO$ равен треугольнику $\triangle CBO$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Поскольку рассматриваемые треугольники прямоугольные, можно также сказать, что они равны по двум катетам ($AO=CO$ и общий катет $BO$).

Из равенства треугольников $\triangle ABO \cong \triangle CBO$ следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABO$ равна гипотенузе $BC$ треугольника $\triangle CBO$. Таким образом, $AB = BC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Так как в треугольнике $ABC$ мы доказали равенство сторон $AB$ и $BC$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В треугольнике $ABC$ высота $BO$ является также и медианой, а если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным.