Номер 12.12, страница 29 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.12*. В треугольнике $ABC$ (рис. 49) $AD = DB$, $DF$ — биссектриса треугольника $DBC$, $DE$ — медиана треугольника $ADB$. Докажите, что отрезок $DE$ перпендикулярен отрезку $DF$.

Рис. 49

Для доказательства того, что отрезок $DE$ перпендикулярен отрезку $DF$, необходимо доказать, что угол $\angle EDF = 90^\circ$.

1. Рассмотрим $\triangle ADB$. По условию задачи $AD = DB$. Это означает, что $\triangle ADB$ является равнобедренным с основанием $AB$.
2. По условию, $DE$ — медиана $\triangle ADB$, проведенная к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $DE$ — биссектриса $\angle ADB$. Это значит, что $\angle EDB = \frac{1}{2}\angle ADB$.
3. Рассмотрим $\triangle DBC$. По условию, $DF$ — биссектриса этого треугольника. Исходя из обозначений, $DF$ является биссектрисой угла $\angle BDC$. Это значит, что $\angle FDB = \frac{1}{2}\angle BDC$.
4. Угол $\angle EDF$ состоит из двух углов: $\angle EDB$ и $\angle FDB$. Таким образом, мы можем записать: $\angle EDF = \angle EDB + \angle FDB$.
5. Подставим выражения для углов, полученные в пунктах 2 и 3: $\angle EDF = \frac{1}{2}\angle ADB + \frac{1}{2}\angle BDC = \frac{1}{2}(\angle ADB + \angle BDC)$.
6. Точки $A$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой, так как $D$ — точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Следовательно, углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADB + \angle BDC = 180^\circ$.
7. Теперь подставим значение суммы углов в формулу для $\angle EDF$: $\angle EDF = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол между отрезками $DE$ и $DF$ равен $90^\circ$, они перпендикулярны ($DE \perp DF$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.