Номер 14.2, страница 30 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.2. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высоты $AM$ и $CK$, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке $O$. Докажите, что прямая $OB$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, боковые стороны равны ($AB = BC$) и углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$).

$AM$ и $CK$ — высоты, проведенные к боковым сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. Это означает, что $AM \perp BC$ и $CK \perp AB$. Точка $O$ — точка их пересечения.

Чтобы доказать, что прямая $OB$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, мы докажем, что прямая $OB$ содержит биссектрису угла $\angle ABC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой, что и будет означать, что она является серединным перпендикуляром.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle CMA$. Они равны, так как:

• у них общая гипотенуза $AC$;
• у них равны острые углы $\angle KAC = \angle MCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).

Из равенства треугольников $\triangle AKC \cong \triangle CMA$ следует равенство их катетов ($AK = CM$ и $CK = AM$) и соответствующих углов ($\angle KCA = \angle MAC$).

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BKO$ и $\triangle BMO$. Докажем их равенство по трем сторонам (признак SSS).

• Сторона $BO$ — общая.
• Стороны $BK$ и $BM$ равны. Так как $AB = BC$ по условию и $AK = CM$ по доказанному выше, то $BK = AB - AK$ и $BM = BC - CM$. Следовательно, $BK = BM$.
• Стороны $OK$ и $OM$ равны. Рассмотрим $\triangle AOC$. В нем углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ равны, так как $\angle OAC = \angle MAC$ и $\angle OCA = \angle KCA$, а мы ранее доказали, что $\angle MAC = \angle KCA$. Следовательно, $\triangle AOC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и $AO = CO$. Тогда отрезки $OK$ и $OM$ можно выразить как $OK = CK - CO$ и $OM = AM - AO$. Учитывая, что $CK = AM$ и $CO = AO$ по доказанному, получаем $OK = OM$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle BKO$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle BMO$, то $\triangle BKO \cong \triangle BMO$.

3. Из равенства треугольников $\triangle BKO$ и $\triangle BMO$ следует равенство соответствующих углов: $\angle KBO = \angle MBO$. Это означает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является одновременно и высотой (то есть перпендикулярна $AC$), и медианой (то есть проходит через середину $AC$).

Таким образом, прямая $OB$ перпендикулярна отрезку $AC$ и проходит через его середину, а значит, является его серединным перпендикуляром, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.