Номер 15.4, страница 32 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.4. Прямая c пересекает прямые a и b (рис. 56). Цифрами обозначены образовавшиеся углы. Выясните, будут ли прямые a и b параллельны, если:

а) $∠4 = 25^\circ$ и $∠5 = 135^\circ$;

б) $∠2 = 32^\circ$ и $∠7 = 148^\circ$;

в) $∠1 = 150^\circ$ и $∠8 = 30^\circ$;

г) $∠1 = 142^\circ$ и $∠7 = 142^\circ$.

Рис. 55

Рис. 56

Для решения этой задачи мы будем использовать признаки параллельности двух прямых, пересеченных третьей (секущей). Две прямые параллельны, если:

• соответственные углы равны;
• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна $180^\circ$.

а) Дано: $\angle 4 = 25^\circ$ и $\angle 5 = 135^\circ$.

Углы $\angle 4$ и $\angle 5$ являются внутренними односторонними углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$. Согласно признаку параллельности, прямые будут параллельны, если сумма этих углов равна $180^\circ$.

Проверим сумму: $\angle 4 + \angle 5 = 25^\circ + 135^\circ = 160^\circ$.

Поскольку $160^\circ \neq 180^\circ$, прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Ответ: нет.

б) Дано: $\angle 2 = 32^\circ$ и $\angle 7 = 148^\circ$.

Углы $\angle 2$ и $\angle 7$ являются внешними односторонними углами. Прямые будут параллельны, если сумма этих углов равна $180^\circ$.

Проверим сумму: $\angle 2 + \angle 7 = 32^\circ + 148^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма равна $180^\circ$, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Другой способ: Углы $\angle 6$ и $\angle 7$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle 6$: $\angle 6 = 180^\circ - \angle 7 = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. Углы $\angle 2$ и $\angle 6$ являются соответственными. Так как $\angle 2 = 32^\circ$ и $\angle 6 = 32^\circ$, то $\angle 2 = \angle 6$. По признаку параллельности прямых (равенство соответственных углов), прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: да.

в) Дано: $\angle 1 = 150^\circ$ и $\angle 8 = 30^\circ$.

Углы $\angle 5$ и $\angle 8$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle 5$: $\angle 5 = 180^\circ - \angle 8 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются соответственными. Прямые параллельны, если соответственные углы равны.

Сравним углы: $\angle 1 = 150^\circ$ (по условию) и $\angle 5 = 150^\circ$ (как мы нашли). Поскольку $\angle 1 = \angle 5$, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: да.

г) Дано: $\angle 1 = 142^\circ$ и $\angle 7 = 142^\circ$.

Углы $\angle 1$ и $\angle 7$ являются внешними накрест лежащими углами. Согласно признаку параллельности, прямые будут параллельны, если эти углы равны.

По условию $\angle 1 = 142^\circ$ и $\angle 7 = 142^\circ$, следовательно, $\angle 1 = \angle 7$.

Так как внешние накрест лежащие углы равны, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: да.