Номер 15.6, страница 33 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.6. Параллельны ли прямые a и b, изображенные на рисун-ке 57, если:

а) $\angle 1 = \angle 3$;

б) $\angle 1 = \angle 4$;

в) $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$;

г) $\angle 5 = \angle 6 = 90^\circ$?

Рис. 57

а) $\angle1 = \angle3$;

Углы $\angle1$ и $\angle3$ являются накрест лежащими при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $d$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Так как по условию $\angle1 = \angle3$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Ответ: да, параллельны.

б) $\angle1 = \angle4$;

Углы $\angle2$ и $\angle4$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle2 = \angle4$. По условию задачи $\angle1 = \angle4$. Из этих двух равенств следует, что $\angle1 = \angle2$. Углы $\angle1$ и $\angle2$ — это односторонние внутренние углы при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $d$. Прямые $a$ и $b$ будут параллельны, только если сумма их односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle1 + \angle2 = 180^\circ$. Условие $\angle1 = \angle2$ в общем случае не гарантирует, что их сумма равна $180^\circ$ (это было бы верно только в частном случае, когда $\angle1 = \angle2 = 90^\circ$). Следовательно, из условия $\angle1 = \angle4$ не следует, что прямые $a$ и $b$ параллельны.
Ответ: нет, не обязательно.

в) $\angle1 + \angle2 = 180^\circ$;

Углы $\angle1$ и $\angle2$ являются односторонними внутренними углами при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $d$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Условие задачи в точности соответствует этому признаку, следовательно, $a \parallel b$.
Ответ: да, параллельны.

г) $\angle5 = \angle6 = 90^\circ$;

В данном случае рассматриваются прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Условие $\angle5 = 90^\circ$ означает, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $c$ ($a \perp c$). Аналогично, условие $\angle6 = 90^\circ$ означает, что прямая $b$ перпендикулярна прямой $c$ ($b \perp c$). Существует теорема, согласно которой две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. Так как $a \perp c$ и $b \perp c$, то $a \parallel b$.
Также можно рассуждать иначе: углы $\angle5$ и $\angle6$ являются соответственными при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$. По условию $\angle5 = \angle6 = 90^\circ$, значит, эти углы равны. По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Ответ: да, параллельны.