Номер 16.1, страница 34 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.1. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных одной и той же прямой?

16.1.

Взаимное расположение двух прямых, которые перпендикулярны одной и той же третьей прямой, зависит от того, рассматривается ли задача на плоскости (в планиметрии) или в трехмерном пространстве (в стереометрии).

На плоскости (в планиметрии) существует однозначный ответ, который формулируется в виде теоремы: две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Доказательство: Пусть прямые a и b перпендикулярны прямой c. Это можно записать как $a \perp c$ и $b \perp c$. Прямая c является секущей по отношению к прямым a и b. Углы, которые образует секущая c с прямыми a и b, являются прямыми, то есть равны $90^\circ$. Эти углы являются соответственными. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, на плоскости такие прямые всегда параллельны ($a \parallel b$).

В пространстве (в стереометрии) для таких прямых возможны три различных варианта взаимного расположения:

1. Прямые параллельны. Две прямые a и b будут параллельны, если они обе перпендикулярны прямой c и при этом лежат в одной плоскости. Например, если прямая c перпендикулярна некоторой плоскости $\alpha$, а прямые a и b лежат в этой плоскости и параллельны друг другу.

2. Прямые пересекаются. Прямые a и b будут пересекаться, если они обе перпендикулярны прямой c в одной и той же точке. Например, если прямая c перпендикулярна плоскости $\alpha$ в точке O, то любые две прямые, лежащие в плоскости $\alpha$ и проходящие через точку O, будут пересекаться в этой точке и обе будут перпендикулярны прямой c.

3. Прямые скрещиваются. Прямые a и b будут скрещивающимися, если они перпендикулярны прямой c, но не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Например, в прямоугольной системе координат ось Ox (прямая a) перпендикулярна оси Oz (прямая c). Прямая b, которая параллельна оси Oy и проходит через точку на оси Oz (например, точку с координатами (0, 0, 1)), также будет перпендикулярна оси Oz. При этом прямые a и b не пересекаются и не параллельны, следовательно, они являются скрещивающимися.

Ответ: На плоскости две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, всегда параллельны. В пространстве такие прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.