Номер 16.3, страница 35 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.3. Точка $K$ является серединой стороны $AC$ треугольника $ABC$. Через точку $K$ проведена прямая $a$, параллельная прямой $BC$. Докажите, что прямые $a$ и $AB$ пересекаются.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим обратное, а именно, что прямые $a$ и $AB$ не пересекаются. Если две прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, наше предположение означает, что прямая $a$ параллельна прямой $AB$: $a \parallel AB$.

По условию задачи нам дано, что прямая $a$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $BC$. Это означает, что $a \parallel BC$.

Таким образом, мы имеем два факта: $a \parallel AB$ (из нашего предположения) и $a \parallel BC$ (из условия). Отсюда следует, что две прямые, $AB$ и $BC$, параллельны одной и той же прямой $a$. Согласно следствию из аксиомы параллельных прямых Евклида, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, мы можем сделать вывод, что $AB \parallel BC$.

Однако, прямые $AB$ и $BC$ являются сторонами треугольника $ABC$ и имеют общую вершину $B$, то есть они пересекаются в этой точке. Это прямо противоречит нашему выводу о том, что прямые $AB$ и $BC$ параллельны, так как параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$ и $AB$ должны пересекаться. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.