Номер 16.8, страница 35 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.8. На рисунке 65 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Докажите, что прямая a параллельна прямой c.

Рис. 64

Рис. 65

Для доказательства параллельности прямых a и c необходимо последовательно использовать признаки параллельности прямых.

1. Сначала рассмотрим прямые a и b, которые пересекает секущая d. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении этих прямых. По условию задачи нам дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Существует признак параллельности прямых, который гласит: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Исходя из этого, можно заключить, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

2. Теперь рассмотрим прямые b и c и ту же секущую d. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются соответственными углами. По условию задачи $\angle 3 = \angle 4$. Согласно другому признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, прямая b параллельна прямой c ($b \parallel c$).

3. Мы доказали, что $a \parallel b$ и $b \parallel c$. В евклидовой геометрии существует свойство (аксиома) параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая a, и прямая c параллельны одной и той же прямой b, они должны быть параллельны друг другу. Таким образом, $a \parallel c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямая a параллельна прямой c. Это следует из того, что:

• Из равенства накрест лежащих углов $\angle 1 = \angle 2$ следует параллельность прямых a и b ($a \parallel b$).
• Из равенства соответственных углов $\angle 3 = \angle 4$ следует параллельность прямых b и c ($b \parallel c$).
• Так как обе прямые, a и c, параллельны одной и той же прямой b, они параллельны между собой ($a \parallel c$).