Номер 17.2, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.2. Можно ли утверждать, что две прямые параллельны, если при пересечении их секущей где-либо образуются равные углы?

Нет, этого утверждать нельзя.

Простое наличие равных углов при пересечении двух прямых секущей не является достаточным условием для их параллельности. Рассмотрим, почему это так.

Пусть две произвольные прямые $a$ и $b$ пересечены третьей прямой (секущей) $c$. При пересечении секущей $c$ с прямой $a$ образуются углы, которые мы обозначим как $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$ (по часовой стрелке, начиная с верхнего левого). При пересечении с прямой $b$ аналогично образуются углы $\angle 5, \angle 6, \angle 7, \angle 8$.

Даже если прямые $a$ и $b$ не параллельны, в каждой точке пересечения всегда образуются равные вертикальные углы. В точке пересечения $a$ и $c$: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$. В точке пересечения $b$ и $c$: $\angle 5 = \angle 7$ и $\angle 6 = \angle 8$. Таким образом, условие "образуются равные углы" выполняется всегда, но это не доказывает параллельность прямых $a$ и $b$.

Для того чтобы сделать вывод о параллельности прямых, необходимо, чтобы выполнялся один из следующих признаков, где равенство устанавливается между углами из разных точек пересечения:

• Равенство накрест лежащих углов. Если накрест лежащие углы равны (например, $\angle 3 = \angle 5$ или $\angle 4 = \angle 6$), то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

• Равенство соответственных углов. Если соответственные углы равны (например, $\angle 1 = \angle 5$, или $\angle 2 = \angle 6$, или $\angle 3 = \angle 7$, или $\angle 4 = \angle 8$), то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Также существует признак, связанный с суммой односторонних углов: если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$ (например, $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ или $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$), то прямые параллельны.

Следовательно, формулировка "где-либо образуются равные углы" является слишком общей и неточной. Она выполняется для любых двух прямых, пересеченных секущей (за счет вертикальных углов), и потому не может служить признаком параллельности.

Ответ: Нет, утверждать это нельзя. При пересечении любых двух прямых секущей всегда образуются равные вертикальные углы, однако это не означает, что прямые параллельны. Для доказательства параллельности необходимо равенство определенных пар углов: накрест лежащих или соответственных.