Номер 18.1, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.1. На рисунке 71 $a \parallel b, c \parallel d$. Найдите:

а) угол 3, если угол 2 больше угла 1 на $70^\circ$;

б) угол 1, если угол 3 меньше угла 2 на $82^\circ$.

Рис. 71

Поскольку по условию задачи прямые $a \parallel b$ и $c \parallel d$, мы можем использовать свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Для начала установим соотношения между углами 1, 2 и 3.

1. Углы 2 и 3 являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол на прямой $c$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

2. Теперь найдем связь между углами 1 и 2. Введем вспомогательный угол $\alpha$, который является соответственным углу 1 при параллельных прямых $c$ и $d$ и секущей $b$. Этот угол $\alpha$ расположен внутри фигуры, образованной прямыми, в правом верхнем углу. Так как соответственные углы равны, $\angle \alpha = \angle 1$.
Углы $\alpha$ и 2 являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Сумма таких углов равна $180^\circ$, то есть $\angle \alpha + \angle 2 = 180^\circ$.
Заменив $\angle \alpha$ на равный ему $\angle 1$, получаем:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Из полученных равенств $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ и $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ следует, что $\angle 1 = \angle 3$.

Теперь мы можем решить поставленные задачи.

а) угол 3, если угол 2 больше угла 1 на 70°

По условию нам дано: $\angle 2 = \angle 1 + 70^\circ$.
Так как мы установили, что $\angle 1 = \angle 3$, мы можем переписать условие как: $\angle 2 = \angle 3 + 70^\circ$.
Мы также знаем, что $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.
Подставим выражение для $\angle 2$ в это уравнение:
$(\angle 3 + 70^\circ) + \angle 3 = 180^\circ$
$2 \cdot \angle 3 + 70^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle 3 = 180^\circ - 70^\circ$
$2 \cdot \angle 3 = 110^\circ$
$\angle 3 = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$
Ответ: $55^\circ$.

б) угол 1, если угол 3 меньше угла 2 на 82°

По условию нам дано: $\angle 3 = \angle 2 - 82^\circ$.
Нам нужно найти $\angle 1$. Поскольку $\angle 1 = \angle 3$, задача сводится к нахождению $\angle 3$.
Из условия следует, что $\angle 2 = \angle 3 + 82^\circ$.
Используем известное нам соотношение $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.
Подставим выражение для $\angle 2$ в это уравнение:
$(\angle 3 + 82^\circ) + \angle 3 = 180^\circ$
$2 \cdot \angle 3 + 82^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle 3 = 180^\circ - 82^\circ$
$2 \cdot \angle 3 = 98^\circ$
$\angle 3 = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$
Так как $\angle 1 = \angle 3$, то $\angle 1 = 49^\circ$.
Ответ: $49^\circ$.