Номер 17.1, страница 36 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.1. На рисунке 68 $\angle 3 = \angle 5$. Докажите, что:

а) $\angle 4 = \angle 6$;

б) $\angle 1 = \angle 5$;

в) $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$;

г) $\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ$.

Рис. 68

По условию задачи дано, что $\angle 3 = \angle 5$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Следовательно, мы можем утверждать, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$). Это основной факт, который мы будем использовать для всех последующих доказательств.

а)

Мы установили, что $a \parallel b$. Углы $\angle 4$ и $\angle 6$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle 4 = \angle 6$.

Ответ: Доказано, что $\angle 4 = \angle 6$.

б)

Для доказательства этого утверждения можно использовать два способа.

Способ 1: Так как $a \parallel b$, то соответственные углы, образованные секущей $c$, равны. Углы $\angle 1$ и $\angle 5$ являются соответственными. Следовательно, $\angle 1 = \angle 5$.

Способ 2: Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle 1 = \angle 3$. Из условия задачи мы знаем, что $\angle 3 = \angle 5$. По свойству транзитивности (если первая величина равна второй, а вторая равна третьей, то первая равна третьей), мы получаем, что $\angle 1 = \angle 5$.

Ответ: Доказано, что $\angle 1 = \angle 5$.

в)

Так как мы доказали, что $a \parallel b$, мы можем использовать свойства внутренних односторонних углов. Углы $\angle 3$ и $\angle 6$ являются внутренними односторонними углами при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$.

Ответ: Доказано, что $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$.

г)

Для доказательства этого утверждения также можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Так как $a \parallel b$, внешние накрест лежащие углы $\angle 2$ и $\angle 8$ равны: $\angle 2 = \angle 8$. Заменив $\angle 2$ на $\angle 8$ в первом равенстве, получаем $\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ$.

Способ 2: Углы $\angle 5$ и $\angle 8$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 5 + \angle 8 = 180^\circ$. В пункте (б) мы доказали, что $\angle 1 = \angle 5$. Заменив $\angle 5$ на $\angle 1$ в равенстве для смежных углов, получаем $\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ$.

Ответ: Доказано, что $\angle 1 + \angle 8 = 180^\circ$.