Номер 16.4, страница 35 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.4. На рисунке 63 $AM = AN$, $\angle MNC = 117^\circ$, $\angle ABC = 63^\circ$. Докажите, что $MN \parallel BC$.

Рис. 63

1. Рассмотрим треугольник $AMN$. По условию задачи дано, что $AM = AN$. Это означает, что треугольник $AMN$ является равнобедренным с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle AMN = \angle ANM$.

2. Углы $\angle ANM$ и $\angle MNC$ являются смежными, так как точки $A$, $N$, $C$ лежат на одной прямой, и эти углы имеют общую сторону $NM$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle ANM + \angle MNC = 180^\circ$.

3. Из условия нам известно, что $\angle MNC = 117^\circ$. Мы можем найти величину угла $\angle ANM$:
$\angle ANM = 180^\circ - \angle MNC = 180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$.

4. Так как из пункта 1 мы знаем, что $\angle AMN = \angle ANM$, то $\angle AMN$ также равен $63^\circ$.

5. Теперь рассмотрим прямые $MN$ и $BC$ и секущую $AB$. Углы $\angle AMN$ и $\angle ABC$ являются соответственными углами.

6. По условию задачи $\angle ABC = 63^\circ$. Мы нашли, что $\angle AMN = 63^\circ$. Следовательно, $\angle AMN = \angle ABC$.

7. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Так как $\angle AMN = \angle ABC$, то $MN \parallel BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать, $MN \parallel BC$.