Номер 15.9, страница 34 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.9. На рисунке 60 $AB = BC$, $\angle BAC = 60^\circ$, $CD$ — биссектриса угла $BCE$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 60

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $\angle BCA$ равен углу $\angle BAC$. Поскольку по условию $\angle BAC = 60°$, то и $\angle BCA = 60°$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle BCE$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $\angle ACE$, проходящий по прямой $AE$. Сумма смежных углов равна $180°$. Отсюда можно найти величину угла $\angle BCE$: $\angle BCE = 180° - \angle BCA = 180° - 60° = 120°$.

Также можно было найти $\angle BCE$ как внешний угол треугольника $ABC$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Так как $\angle BAC = \angle BCA = 60°$, то $\angle ABC = 180° - 60° - 60° = 60°$. Тогда $\angle BCE = \angle BAC + \angle ABC = 60° + 60° = 120°$.

По условию, луч $CD$ является биссектрисой угла $\angle BCE$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно: $\angle DCE = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.

Теперь сравним углы, образованные прямыми $AB$ и $CD$ при пересечении их секущей $AE$. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ являются соответственными.

Мы имеем:

• $\angle BAC = 60°$ (по условию)
• $\angle DCE = 60°$ (по доказанному выше)

Поскольку соответственные углы $\angle BAC$ и $\angle DCE$ равны, то, согласно признаку параллельности прямых, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.