Номер 17.5, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.5. Могут ли быть параллельными биссектрисы двух внутренних углов треугольника?

17.5.

Рассмотрим данный вопрос методом доказательства от противного. Предположим, что биссектрисы двух внутренних углов треугольника могут быть параллельными.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AL$ и $BM$ углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Допустим, что эти биссектрисы параллельны, то есть $AL \parallel BM$.

Рассмотрим прямые $AL$ и $BM$ и секущую $AB$. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. В нашем случае это углы $\angle MAB$ и $\angle LBA$.

Таким образом, должно выполняться равенство: $\angle MAB + \angle LBA = 180^\circ$.

По определению биссектрисы, $AL$ делит угол $\angle A$ пополам, а $BM$ делит угол $\angle B$ пополам. Следовательно: $\angle MAB = \frac{1}{2}\angle A$ $\angle LBA = \frac{1}{2}\angle B$

Подставим эти значения в наше равенство:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$

Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ$

Умножим обе части на 2:

$\angle A + \angle B = 360^\circ$

Теперь вспомним основное свойство любого треугольника: сумма его внутренних углов равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Из этого свойства следует, что сумма двух любых углов треугольника всегда строго меньше $180^\circ$, так как третий угол всегда больше $0^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C < 180^\circ$

Мы получили противоречие. С одной стороны, из предположения о параллельности биссектрис следует, что сумма двух углов треугольника равна $360^\circ$. С другой стороны, из аксиомы о сумме углов треугольника следует, что сумма этих же двух углов должна быть меньше $180^\circ$. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, биссектрисы двух внутренних углов треугольника не могут быть параллельными.