Номер 18.5, страница 38 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.5. Стороны углов $\angle ABC$ и $\angle DEF$ взаимно перпендикулярны (рис. 75). Найдите эти углы, если:

а) один из них на $48^{\circ}$ больше другого;

б) один из них на $60^{\circ}$ меньше другого.

Рис. 75

По свойству углов с взаимно перпендикулярными сторонами, такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$. Из рисунка 75 видно, что угол $∠ABC$ является тупым (его градусная мера больше $90°$), а угол $∠DEF$ — острым (его градусная мера меньше $90°$). Следовательно, эти углы не могут быть равными. Значит, их сумма равна $180°$:

$∠ABC + ∠DEF = 180°$

а) один из них на 48° больше другого;

Пусть меньший угол $∠DEF$ равен $x$. Тогда больший угол $∠ABC$ равен $x + 48°$. Составим уравнение, используя свойство о сумме углов:

$(x + 48°) + x = 180°$

$2x + 48° = 180°$

$2x = 180° - 48°$

$2x = 132°$

$x = \frac{132°}{2}$

$x = 66°$

Таким образом, $∠DEF = 66°$. Теперь найдем второй угол:

$∠ABC = 66° + 48° = 114°$

Проверим: $66° + 114° = 180°$.

Ответ: $66°$ и $114°$.

б) один из них на 60° меньше другого.

Это условие означает, что разница между углами составляет $60°$. Пусть меньший угол $∠DEF$ равен $y$. Тогда больший угол $∠ABC$ равен $y + 60°$. Снова используем свойство о сумме углов:

$(y + 60°) + y = 180°$

$2y + 60° = 180°$

$2y = 180° - 60°$

$2y = 120°$

$y = \frac{120°}{2}$

$y = 60°$

Таким образом, $∠DEF = 60°$. Теперь найдем второй угол:

$∠ABC = 60° + 60° = 120°$

Проверим: $60° + 120° = 180°$.

Ответ: $60°$ и $120°$.