Номер 19.4, страница 39 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.4. a) Известно, что угол при вершине равнобедренного треугольника в четыре раза больше угла при основании. Найдите углы этого треугольника.
б) Известно, что угол при основании равнобедренного треугольника в два раза больше угла при вершине. Найдите углы этого треугольника.

а) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов любого треугольника составляет $180^\circ$.
Пусть $x$ — это градусная мера угла при основании. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то второй угол при основании также равен $x$.
По условию задачи, угол при вершине в четыре раза больше угла при основании, следовательно, он равен $4x$.
Составим уравнение, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$x + x + 4x = 180^\circ$
$6x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$
Таким образом, углы при основании равны по $30^\circ$.
Угол при вершине равен $4x = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Проверка: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.
Ответ: 30°, 30°, 120°.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство углов при основании равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов треугольника.
Пусть $y$ — это градусная мера угла при вершине.
По условию, угол при основании в два раза больше угла при вершине, то есть он равен $2y$.
Так как углы при основании равны, то оба угла при основании равны по $2y$.
Составим и решим уравнение:
$y + 2y + 2y = 180^\circ$
$5y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{5}$
$y = 36^\circ$
Таким образом, угол при вершине равен $36^\circ$.
Углы при основании равны $2y = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$ каждый.
Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.
Ответ: 36°, 72°, 72°.