Номер 19.10, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.10. На рисунке 77 изображен треугольник $ABC$, у которого $\angle ABC=30^\circ$, $DM \perp AB$, а $DN \perp BC$. Найдите $\angle MDN$.

Рис. 77

Рассмотрим четырехугольник MBDN. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Согласно условию задачи, $\angle ABC = 30^\circ$. Этот угол является одним из углов четырехугольника MBDN (угол при вершине B, то есть $\angle MBN$).

Также по условию $DM \perp AB$, следовательно, угол $\angle DMB$ является прямым, то есть $\angle DMB = 90^\circ$.

Аналогично, по условию $DN \perp BC$, следовательно, угол $\angle DNB$ является прямым, то есть $\angle DNB = 90^\circ$.

Сумма углов четырехугольника MBDN вычисляется по формуле: $\angle MBN + \angle DMB + \angle MDN + \angle DNB = 360^\circ$.

Подставим известные значения в это равенство:

$30^\circ + 90^\circ + \angle MDN + 90^\circ = 360^\circ$

Сложим известные углы:

$210^\circ + \angle MDN = 360^\circ$

Выразим из уравнения искомый угол $\angle MDN$:

$\angle MDN = 360^\circ - 210^\circ$

$\angle MDN = 150^\circ$

Альтернативное решение:

Рассмотрим четырехугольник MBDN. Поскольку $\angle DMB = 90^\circ$ и $\angle DNB = 90^\circ$, сумма противоположных углов $\angle DMB + \angle DNB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что вокруг четырехугольника MBDN можно описать окружность (он является вписанным).

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:

$\angle MBN + \angle MDN = 180^\circ$

Зная, что $\angle MBN = \angle ABC = 30^\circ$, находим $\angle MDN$:

$30^\circ + \angle MDN = 180^\circ$

$\angle MDN = 180^\circ - 30^\circ$

$\angle MDN = 150^\circ$

Ответ: $150^\circ$.