Номер 19.12, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.12. В треугольнике $ABC$ проведены отрезки $BM$ и $BN$ так, что $\angle BMN = 72^\circ$ и $\angle MNB = 68^\circ$ (рис. 78). Найдите градусную меру угла $ABC$, если $AM = MB$, $NC = NB$.

Рис. 78

Для решения задачи необходимо найти градусную меру угла $ \angle ABC $. Из рисунка видно, что этот угол состоит из трех углов: $ \angle ABM $, $ \angle MBN $ и $ \angle CBN $. Найдем каждый из этих углов по отдельности, рассмотрев треугольники BMN, AMB и CNB.

1. Рассмотрим треугольник BMN.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию известны два угла в треугольнике BMN: $ \angle BMN = 72^\circ $ и $ \angle MNB = 68^\circ $. Можем найти третий угол $ \angle MBN $:
$ \angle MBN = 180^\circ - (\angle BMN + \angle MNB) $
$ \angle MBN = 180^\circ - (72^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $.

2. Рассмотрим треугольник AMB.
По условию $ AM = MB $, следовательно, треугольник AMB — равнобедренный с основанием AB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $ \angle BAM = \angle ABM $.
Угол $ \angle BMA $ является смежным с углом $ \angle BMN $, поэтому их сумма равна $180^\circ$ (так как точки A, M, N, C лежат на одной прямой).
$ \angle BMA = 180^\circ - \angle BMN = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $.
Теперь из свойства о сумме углов треугольника AMB ($ \angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ $) найдем $ \angle ABM $. Так как $ \angle BAM = \angle ABM $, то:
$ 2 \cdot \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle ABM + 108^\circ = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle ABM = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ $
$ \angle ABM = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник CNB.
По условию $ NC = NB $, следовательно, треугольник CNB — равнобедренный с основанием CB. Углы при основании равны: $ \angle BCN = \angle CBN $.
Угол $ \angle BNC $ является смежным с углом $ \angle MNB $:
$ \angle BNC = 180^\circ - \angle MNB = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ $.
Из свойства о сумме углов треугольника CNB ($ \angle BCN + \angle CBN + \angle BNC = 180^\circ $) найдем $ \angle CBN $. Так как $ \angle BCN = \angle CBN $, то:
$ 2 \cdot \angle CBN + \angle BNC = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle CBN + 112^\circ = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle CBN = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ $
$ \angle CBN = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ $.

4. Найдем искомый угол ABC.
Сложим градусные меры найденных углов, чтобы получить итоговый угол $ \angle ABC $:
$ \angle ABC = \angle ABM + \angle MBN + \angle CBN $
Подставим вычисленные значения:
$ \angle ABC = 36^\circ + 40^\circ + 34^\circ = 110^\circ $.

Ответ: $110^\circ$.