Номер 19.15, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.15. На рисунке 81 изображен равнобедренный треугольник $ABC$

Рис. 80

Рис. 81

с прямым углом А. Из точек $K$ и $E$, являющихся серединами боковых сторон ($K \in AB$; $E \in AC$), опущены перпендикуляры $KM$ и $EO$ на гипотенузу. Найдите:

а) $EO$, если $BM = 6$ см;

б) $KM$, если $OC = 8$ см.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным с прямым углом $A$. Это означает, что его катеты равны, $AB = AC$, а углы при гипотенузе $BC$ равны по $45^\circ$: $\angle B = \angle C = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Точки $K$ и $E$ являются серединами катетов $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $KB = \frac{1}{2}AB$ и $EC = \frac{1}{2}AC$. Так как $AB = AC$, то и гипотенузы прямоугольных треугольников $KBM$ и $EOC$ равны: $KB = EC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle EOC$. Они являются прямоугольными, так как $KM \perp BC$ и $EO \perp BC$.

• Их гипотенузы равны: $KB = EC$.
• У них есть равные острые углы: $\angle B = \angle C = 45^\circ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle EOC$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $KM = EO$ и $BM = OC$.

а) Найти $EO$, если $BM = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KBM$. В нём $\angle B = 45^\circ$ и $\angle KMB = 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BKM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в $\triangle KBM$ равны ($\angle B = \angle BKM = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его катеты равны: $KM = BM$.

По условию $BM = 6$ см, следовательно, $KM = 6$ см.

Так как мы доказали, что $EO = KM$, то $EO = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б) Найти $KM$, если $OC = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EOC$. В нём $\angle C = 45^\circ$ и $\angle EOC = 90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle CEO = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как два угла в $\triangle EOC$ равны ($\angle C = \angle CEO = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его катеты равны: $EO = OC$.

По условию $OC = 8$ см, следовательно, $EO = 8$ см.

Так как мы доказали, что $KM = EO$, то $KM = 8$ см.

Ответ: 8 см.