Номер 19.13, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.13. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AN$ и $BM$ (рис. 79). Найдите угол $ACB$, если $\angle AOB = 124^\circ$.

Рис. 79

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$.

По условию задачи дано, что $\angle AOB = 124^\circ$. Можем найти сумму двух других углов этого треугольника:

$\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - \angle AOB$

$\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$

Из условия известно, что $AN$ и $BM$ — биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle ABC$ соответственно. Точка $O$ является точкой их пересечения.

По определению биссектрисы:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB$ (так как точка $O$ лежит на биссектрисе $AN$)

$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA$ (так как точка $O$ лежит на биссектрисе $BM$)

Теперь найдем сумму углов $A$ и $B$ в треугольнике $ABC$:

$\angle BAC + \angle ABC = 2 \cdot \angle OAB + 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot (\angle OAB + \angle OBA)$

Подставим ранее найденное значение суммы $\angle OAB + \angle OBA = 56^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ$

Теперь рассмотрим основной треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

Мы уже знаем сумму двух углов, поэтому можем найти третий, искомый угол $\angle ACB$:

$112^\circ + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ACB = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

Ответ: $68^\circ$.