Номер 20.1, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.1. Чему равна сумма всех внешних углов треугольника?

20.1. Сумма всех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, является постоянной величиной и не зависит от вида треугольника. Существует несколько способов найти эту сумму.

Способ 1: Через сумму внутренних углов

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Как известно, сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Внешний угол треугольника при каждой вершине является смежным с внутренним углом. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим внешние углы, соответствующие внутренним углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$.

Тогда:

• $\alpha' = 180^\circ - \alpha$
• $\beta' = 180^\circ - \beta$
• $\gamma' = 180^\circ - \gamma$

Найдем сумму этих трех внешних углов:

$S_{внешн.} = \alpha' + \beta' + \gamma' = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_{внешн.} = (180^\circ + 180^\circ + 180^\circ) - (\alpha + \beta + \gamma)$

$S_{внешн.} = 540^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)$

Так как мы знаем, что сумма внутренних углов $(\alpha + \beta + \gamma)$ равна $180^\circ$, подставим это значение в формулу:

$S_{внешн.} = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2: Используя свойство внешнего угла

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

• $\alpha' = \beta + \gamma$
• $\beta' = \alpha + \gamma$
• $\gamma' = \alpha + \beta$

Сложим все внешние углы:

$S_{внешн.} = \alpha' + \beta' + \gamma' = (\beta + \gamma) + (\alpha + \gamma) + (\alpha + \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_{внешн.} = 2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2(\alpha + \beta + \gamma)$

Подставим значение суммы внутренних углов $(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ)$:

$S_{внешн.} = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Более того, сумма внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.