Номер 20.6, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.6. Дан треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$. Верно ли утверждение, что $\angle ADB = \angle DBC + \angle DCB$?

Да, данное утверждение верно. Докажем это.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом этого треугольника при вершине $D$.

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Для треугольника $BDC$ и его внешнего угла $\angle ADB$ внутренними углами, не смежными с ним, являются углы $\angle DBC$ и $\angle DCB$.

Следовательно, по этой теореме мы можем записать равенство: $$ \angle ADB = \angle DBC + \angle DCB $$

Альтернативное доказательство:

1. Сумма углов в треугольнике $BDC$ равна $180^\circ$: $$ \angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^\circ $$

2. Углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$ являются смежными, так как точка $D$ лежит на прямой $AC$. Их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle ADB + \angle BDC = 180^\circ $$

3. Из второго уравнения выразим $\angle BDC$: $\angle BDC = 180^\circ - \angle ADB$.

4. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \angle DBC + \angle DCB + (180^\circ - \angle ADB) = 180^\circ $$

5. Упростим уравнение, вычтя $180^\circ$ из обеих частей: $$ \angle DBC + \angle DCB - \angle ADB = 0 $$

6. Перенесем $\angle ADB$ в правую часть: $$ \angle DBC + \angle DCB = \angle ADB $$

Оба способа доказывают, что утверждение верно.

Ответ: Да, утверждение верно.