Номер 20.5, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.5. На рисунке 84 изображены равные треугольники $ABC$ и $MNK$ ($\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle N$, $\angle C = \angle K$). Найдите градусную меру угла 1, если $\angle 2 = 56^\circ$, $\angle 3 = 106^\circ$.

Рис. 84

По условию задачи треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Это означает, что их соответствующие углы также равны: $\angle A = \angle M$, $\angle B = \angle N$ и $\angle C = \angle K$.

Нам даны значения двух углов, связанных с треугольником $MNK$: $\angle 2 = 56^\circ$ и $\angle 3 = 106^\circ$. Угол $\angle 2$ — это внутренний угол треугольника $MNK$ при вершине $N$, следовательно, $\angle N = 56^\circ$.

Угол $\angle 3$ — это внешний угол треугольника $MNK$ при вершине $K$. Внутренний угол треугольника $\angle K$ (или $\angle MKN$) и смежный с ним внешний угол $\angle 3$ в сумме дают $180^\circ$. Найдем градусную меру угла $\angle K$:
$\angle K = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $MNK$ мы можем записать: $\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$. Теперь мы можем найти угол $\angle M$, подставив известные значения $\angle N$ и $\angle K$:
$\angle M = 180^\circ - (\angle N + \angle K) = 180^\circ - (56^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Из условия равенства треугольников мы знаем, что $\angle A = \angle M$. Таким образом, $\angle A = 50^\circ$.

Угол $\angle 1$, который требуется найти, является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$. Он смежен с внутренним углом $\angle A$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Вычислим градусную меру угла $\angle 1$:
$\angle 1 = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $130^\circ$.