Номер 20.8, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.8. На рисунке 86 $AB \parallel CD$. Найдите угол $BED$, если:

а) $\angle ABC = 30^\circ, \angle CDE = 40^\circ$;

б) $\angle ABC = 20^\circ, \angle CDE = 50^\circ$.

а)

Для решения задачи воспользуемся свойством параллельных прямых. Построим через точку Е прямую FK, параллельную прямым AB и CD ($AB \parallel FK \parallel CD$).

Угол $\angle BED$ разделяется этой прямой на два угла: $\angle BEK$ и $\angle DEK$. Таким образом, $\angle BED = \angle BEK + \angle DEK$.

Рассмотрим параллельные прямые AB и FK и секущую BE. Углы $\angle ABE$ и $\angle BEK$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны. Из условия известно, что $\angle ABC = 30^\circ$ (что то же самое, что и $\angle ABE$). Значит, $\angle BEK = \angle ABE = 30^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые CD и FK и секущую DE. Углы $\angle CDE$ и $\angle DEK$ также являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны. Из условия известно, что $\angle CDE = 40^\circ$. Значит, $\angle DEK = \angle CDE = 40^\circ$.

Теперь можем найти искомый угол $\angle BED$ как сумму двух найденных углов: $\angle BED = \angle BEK + \angle DEK = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

б)

Решение этого пункта аналогично предыдущему. Проведем через точку E прямую, параллельную AB и CD. Угол $\angle BED$ будет равен сумме двух углов, которые являются внутренними накрест лежащими с углами $\angle ABC$ и $\angle CDE$ соответственно.

Дано: $\angle ABC = 20^\circ$ и $\angle CDE = 50^\circ$.

Угол, накрест лежащий с $\angle ABC$, равен $20^\circ$.

Угол, накрест лежащий с $\angle CDE$, равен $50^\circ$.

Следовательно, угол $\angle BED$ равен их сумме: $\angle BED = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.