Номер 21.1, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.1. Известно, что угол при вершине равнобедренного треугольника:

а) больше $120^\circ$. Сравните длины основания треугольника, боковой стороны и медианы, проведенной к основанию;

б) меньше $30^\circ$. Сравните длины основания треугольника, боковой стороны и высоты, проведенной к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = b$, основание $BC = a$, угол при вершине $\angle BAC = \alpha$ и медиана, проведенная к основанию, $AM = m$. По условию, $\alpha > 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим их $\angle ABC = \angle ACB = \beta$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $\alpha > 120^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} > 60^\circ$. Тогда для угла $\beta$ получаем: $\beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} < 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Сравнивая углы $\alpha$ и $\beta$, имеем $\alpha > 120^\circ$ и $\beta < 30^\circ$, следовательно, $\alpha > \beta$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$ сторона $a$ (основание) лежит против угла $\alpha$, а сторона $b$ (боковая сторона) — против угла $\beta$. Так как $\alpha > \beta$, то $a > b$. Таким образом, основание длиннее боковой стороны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Это означает, что $AM \perp BC$, и треугольник $ABM$ является прямоугольным. В этом треугольнике сторона $AB = b$ является гипотенузой, а медиана $AM = m$ — катетом. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, следовательно, $b > m$. Таким образом, боковая сторона длиннее медианы.

Объединяя полученные неравенства $a > b$ и $b > m$, получаем окончательное соотношение для длин: $a > b > m$.

Ответ: Основание больше боковой стороны, а боковая сторона больше медианы, проведенной к основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = b$, основание $BC = a$, угол при вершине $\angle BAC = \alpha$ и высота, проведенная к основанию, $AH = h$. По условию, $\alpha < 30^\circ$.

Как и в предыдущем пункте, углы при основании равны $\beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Поскольку $\alpha < 30^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} < 15^\circ$. Тогда для угла $\beta$ получаем: $\beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} > 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. Сравнивая углы $\alpha$ и $\beta$, имеем $\alpha < 30^\circ$ и $\beta > 75^\circ$, следовательно, $\beta > \alpha$.

В треугольнике $ABC$ сторона $b$ (боковая сторона) лежит против угла $\beta$, а сторона $a$ (основание) — против угла $\alpha$. Так как $\beta > \alpha$, то $b > a$. Таким образом, боковая сторона длиннее основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($AH$ — высота). В нем сторона $AB = b$ является гипотенузой, а высота $AH = h$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета, следовательно, $b > h$. Таким образом, боковая сторона длиннее высоты.

Теперь сравним длину основания $a$ и высоту $h$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ равен половине основания, $BH = \frac{a}{2}$, а угол $\angle BAH$ равен половине угла при вершине, $\angle BAH = \frac{\alpha}{2}$. Выразим $a$ и $h$ через боковую сторону $b$ и угол $\alpha$: $h = AH = AB \cdot \cos(\angle BAH) = b \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$ $\frac{a}{2} = BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) \implies a = 2b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$ Для сравнения $a$ и $h$ найдем их отношение: $\frac{a}{h} = \frac{2b \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{b \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})} = 2\tan(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\alpha < 30^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} < 15^\circ$. Функция $y=\tan(x)$ является возрастающей для острых углов, поэтому $\tan(\frac{\alpha}{2}) < \tan(15^\circ)$. Сравним $2\tan(15^\circ)$ с $1$. $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$. $2\tan(15^\circ) = 2(2-\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$. Сравним это значение с $1$: $4 - 2\sqrt{3} < 1 \iff 3 < 2\sqrt{3}$. Поскольку обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат: $3^2 < (2\sqrt{3})^2 \iff 9 < 4 \cdot 3 \iff 9 < 12$. Неравенство верно. Значит, $2\tan(15^\circ) < 1$. Поскольку $\frac{a}{h} = 2\tan(\frac{\alpha}{2}) < 2\tan(15^\circ) < 1$, то $\frac{a}{h} < 1$, откуда $a < h$. Таким образом, высота длиннее основания.

Объединяя полученные неравенства $b > a$, $b > h$ и $h > a$, получаем окончательное соотношение для длин: $b > h > a$.

Ответ: Боковая сторона больше высоты, проведенной к основанию, а высота больше основания.