Номер 21.4, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.4. Докажите, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то гипотенуза больше у того треугольника, у которого второй катет больше.

Пусть даны два прямоугольных треугольника. Обозначим катеты и гипотенузу первого треугольника как $a_1$, $b_1$ и $c_1$ соответственно. Для второго треугольника катеты и гипотенуза будут $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Согласно условию задачи, треугольники имеют по равному катету. Пусть $a_1 = a_2$. Обозначим эту равную длину как $a$.

Также по условию, второй катет у одного треугольника больше, чем у другого. Без ограничения общности, предположим, что катет $b_1$ первого треугольника больше катета $b_2$ второго треугольника, то есть $b_1 > b_2$.

Требуется доказать, что гипотенуза первого треугольника больше гипотенузы второго, то есть $c_1 > c_2$.

Для доказательства воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Применим эту теорему к обоим нашим треугольникам, учитывая, что у них есть общий катет $a$:
Для первого треугольника: $c_1^2 = a^2 + b_1^2$.
Для второго треугольника: $c_2^2 = a^2 + b_2^2$.

Теперь сравним полученные выражения. Мы исходим из неравенства $b_1 > b_2$. Поскольку длины катетов — положительные величины, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, и знак неравенства сохранится:
$b_1^2 > b_2^2$

Прибавим к обеим частям этого неравенства положительную величину $a^2$. Знак неравенства от этого не изменится:
$a^2 + b_1^2 > a^2 + b_2^2$

Заменим суммы квадратов катетов на квадраты соответствующих гипотенуз из выражений, полученных по теореме Пифагора:
$c_1^2 > c_2^2$

Так как длины гипотенуз $c_1$ и $c_2$ являются строго положительными числами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, сохранив его знак:
$\sqrt{c_1^2} > \sqrt{c_2^2}$
$c_1 > c_2$

Таким образом, мы доказали, что если у двух прямоугольных треугольников есть по равному катету, то гипотенуза больше у того треугольника, у которого второй катет больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из теоремы Пифагора следуют выражения для квадратов гипотенуз: $c_1^2 = a^2 + b_1^2$ и $c_2^2 = a^2 + b_2^2$. Поскольку по условию один катет $a$ у треугольников одинаковый, а второй катет $b_1$ больше катета $b_2$ ($b_1 > b_2$), то $b_1^2 > b_2^2$. Прибавление к обеим частям неравенства одинакового слагаемого $a^2$ сохраняет неравенство: $a^2 + b_1^2 > a^2 + b_2^2$, что означает $c_1^2 > c_2^2$. Так как длины гипотенуз положительны, из этого следует, что $c_1 > c_2$.