Номер 21.3, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.3. Докажите, что средней по длине стороне треугольника противолежит средний по величине угол.

Пусть в произвольном треугольнике стороны имеют длины $a$, $b$ и $c$, а величины противолежащих им углов равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно.

Для доказательства утверждения нам нужно показать, что если сторона является средней по длине, то и противолежащий ей угол будет средним по величине.

Без ограничения общности, упорядочим стороны треугольника по возрастанию их длин. Пусть выполняется следующее соотношение: $a \le b \le c$.

В этом случае сторона $a$ является наименьшей (или одной из наименьших), сторона $c$ — наибольшей (или одной из наибольших), а сторона $b$ — средней по длине.

Воспользуемся известной теоремой о соотношении сторон и углов в треугольнике, которая гласит: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Это означает, что порядок длин сторон соответствует порядку величин противолежащих им углов.

Исходя из этой теоремы, мы можем составить следующие соотношения для углов:

• Из того, что $a \le b$, следует, что $\alpha \le \beta$.
• Из того, что $b \le c$, следует, что $\beta \le \gamma$.

Объединив эти два неравенства, мы получаем следующую цепочку неравенств для углов треугольника: $\alpha \le \beta \le \gamma$.

Это соотношение показывает, что угол $\alpha$ является наименьшим (или одним из наименьших), угол $\gamma$ — наибольшим (или одним из наибольших), а угол $\beta$ — средним по величине.

Таким образом, мы установили, что средней по длине стороне $b$ противолежит средний по величине угол $\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.