Номер 20.14, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.14*. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CC_1$. Докажите, что угол $CC_1B$ равен полусумме угла $A$ и внешнего угла $B$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. Угол $\angle CC_1B$ является внешним для этого треугольника, так как он смежен с внутренним углом $\angle AC_1C$.

По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно:

$\angle CC_1B = \angle C_1AC + \angle ACC_1$

Мы знаем, что $\angle C_1AC$ — это угол $\angle A$ треугольника $ABC$.

Поскольку $CC_1$ — биссектриса угла $\angle C$, то $\angle ACC_1 = \frac{\angle C}{2}$.

Подставив эти выражения в формулу, получаем:

$\angle CC_1B = \angle A + \frac{\angle C}{2}$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $ABC$ справедливо:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Отсюда можно выразить угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

Теперь подставим это выражение для $\angle C$ в нашу формулу для угла $\angle CC_1B$:

$\angle CC_1B = \angle A + \frac{180^\circ - \angle A - \angle B}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\angle CC_1B = \angle A + 90^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2} = (\angle A - \frac{\angle A}{2}) + 90^\circ - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Теперь рассмотрим то, что требуется доказать. Нам нужно показать, что $\angle CC_1B$ равен полусумме угла $A$ и внешнего угла $B$.

Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle B$.

Найдем полусумму угла $A$ и этого внешнего угла:

$\frac{\angle A + (180^\circ - \angle B)}{2} = \frac{\angle A}{2} + \frac{180^\circ}{2} - \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Сравнивая два полученных результата, мы видим, что они идентичны.

$\angle CC_1B = \frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

Полусумма угла $A$ и внешнего угла $B$ также равна $\frac{\angle A}{2} + 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$.

Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.