Номер 20.7, страница 42 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.7. В треугольнике $ABC$ (рис. 85) $AC = BC$. Найдите:

а)градусную меру угла $1$, если $\angle ACB = 68^\circ$;

б)градусную меру угла $C$, если $\angle 1 = 68^\circ$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Основное свойство равнобедренного треугольника заключается в том, что углы при его основании равны. В данном случае это углы $\angle CAB$ и $\angle CBA$. Таким образом, $\angle CAB = \angle CBA$.

Также мы знаем, что сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ это записывается как: $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$.

Учитывая, что углы при основании равны, формулу можно упростить: $2 \cdot \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$.

В задаче упоминается $\angle 1$ (имеется в виду рис. 85, который не приложен). Для того чтобы оба пункта задачи имели корректное решение, наиболее логичным является предположение, что $\angle 1$ — это одно из обозначений угла при основании, то есть $\angle 1 = \angle CBA$.

а) градусную меру угла 1, если ∠ACB = 68°

Нам дан угол при вершине $C$, $\angle ACB = 68^\circ$. Необходимо найти $\angle 1$, который мы приняли за $\angle CBA$.

Воспользуемся формулой суммы углов для равнобедренного треугольника:

$2 \cdot \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle ACB$:

$2 \cdot \angle CBA + 68^\circ = 180^\circ$

Вычтем $68^\circ$ из обеих частей уравнения:

$2 \cdot \angle CBA = 180^\circ - 68^\circ$

$2 \cdot \angle CBA = 112^\circ$

Разделим обе части на 2, чтобы найти величину угла $\angle CBA$:

$\angle CBA = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ$

Следовательно, $\angle 1 = 56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$.

б) градусную меру угла C, если ∠1 = 68°

В этом пункте нам дана градусная мера угла при основании: $\angle 1 = 68^\circ$. Согласно нашему предположению, $\angle CBA = 68^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, второй угол при основании также равен $68^\circ$:

$\angle CAB = \angle CBA = 68^\circ$

Теперь мы можем найти угол при вершине $C$ ($\angle ACB$), используя теорему о сумме углов треугольника:

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAB + \angle CBA)$

Подставляем значения углов при основании:

$\angle ACB = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ)$

$\angle ACB = 180^\circ - 136^\circ$

$\angle ACB = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$.