Номер 20.9, страница 43 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.9. На рисунке 87 $AC \parallel BD, AC = BA$. Найдите угол $CBD$, если:

а) $\angle 1 = 50^\circ$;

б) $\angle 2 = 120^\circ$.

Рис. 87

а) Поскольку по условию задачи отрезок $AC$ равен отрезку $BA$ ($AC = BA$), треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BCA = \angle ABC$.
Прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$). Прямая $BC$ является для них секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей, а значит, они равны: $\angle BCA = \angle CBD$.
Из двух полученных равенств следует, что $\angle ABC = \angle CBD$.
Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AC$ и $BD$, но с секущей $MB$. Углы $\angle 1$ и $\angle ABD$ являются соответственными, поэтому они равны: $\angle ABD = \angle 1$. По условию $\angle 1 = 50^\circ$, значит, $\angle ABD = 50^\circ$.
Угол $\angle ABD$ состоит из двух смежных углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$.
Так как мы установили, что $\angle ABC = \angle CBD$, можно записать: $\angle ABD = \angle CBD + \angle CBD = 2 \cdot \angle CBD$.
Подставим известное значение $\angle ABD$: $50^\circ = 2 \cdot \angle CBD$.
Отсюда находим искомый угол: $\angle CBD = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

б) Условия $AC \parallel BD$ и $AC = BA$ остаются прежними. Нам нужно найти $\angle CBD$, если $\angle 2 = 120^\circ$.
Из рисунка видно, что $\angle 2$ обозначает угол $\angle ABD$, следовательно, $\angle ABD = 120^\circ$.
Как было установлено в решении пункта а), из условий $AC = BA$ и $AC \parallel BD$ следует, что $\angle ABC = \angle CBD$.
Угол $\angle ABD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, и так как эти углы равны, мы можем записать: $\angle ABD = 2 \cdot \angle CBD$.
Подставим известное значение $\angle ABD$ из условия: $120^\circ = 2 \cdot \angle CBD$.
Решая это уравнение, находим $\angle CBD$: $\angle CBD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.