Номер 20.13, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.13. Сколько внешних углов при разных вершинах треугольника могут быть острыми?

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$, а соответствующие им внешние углы — $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$.

Внешний угол при любой вершине треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Для любой вершины справедливо равенство: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Задача состоит в том, чтобы определить, какое количество внешних углов треугольника может быть острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Если внешний угол $\beta$ является острым, то есть $\beta < 90^\circ$, то смежный с ним внутренний угол $\alpha$ должен быть тупым. Это следует из равенства $\alpha = 180^\circ - \beta$: $\alpha = 180^\circ - \beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, количество острых внешних углов треугольника равно количеству тупых внутренних углов этого треугольника.

Теперь определим, сколько тупых углов может быть в треугольнике. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 180^\circ$

Предположим, что у треугольника есть два тупых угла, например $\alpha_1 > 90^\circ$ и $\alpha_2 > 90^\circ$. Тогда их сумма уже будет больше $180^\circ$: $\alpha_1 + \alpha_2 > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ Это противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, в треугольнике не может быть более одного тупого угла.

Из этого следует, что треугольник может иметь не более одного острого внешнего угла. Рассмотрим все возможные варианты:

1. Один острый внешний угол. Такой случай возможен, если треугольник тупоугольный (имеет один тупой внутренний угол). Пример: треугольник с внутренними углами $110^\circ, 45^\circ, 25^\circ$. Соответствующие внешние углы равны $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ (острый), $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ (тупой) и $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$ (тупой). В этом случае ровно один внешний угол является острым.

2. Ноль острых внешних углов. Этот случай возможен, если в треугольнике нет тупых углов.

• Если треугольник остроугольный (все внутренние углы острые), то все внешние углы будут тупыми. Например, в равностороннем треугольнике все внутренние углы по $60^\circ$, а все внешние — по $120^\circ$.
• Если треугольник прямоугольный (один угол $90^\circ$), то один внешний угол будет равен $90^\circ$ (прямой), а два других будут тупыми.

В обоих этих случаях острых внешних углов нет.

3. Два или три острых внешних угла. Как было показано, это невозможно, так как для этого в треугольнике должно быть два или три тупых внутренних угла, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Итак, количество острых внешних углов при разных вершинах треугольника может быть либо ноль, либо один.

Ответ: 0 или 1.