Номер 20.10, страница 43 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.10. На рисунке 88 $AB = BC$. Найдите градусную меру угла 1, если:

а) $\angle ABC = 42^\circ$;

б) $\angle BAC = 74^\circ$.

Рис. 87

Рис. 88

По условию задачи в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а сторона $AC$ — его основание.

Основное свойство равнобедренного треугольника заключается в том, что углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Угол 1, который необходимо найти, является внешним углом треугольника при вершине $C$. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол треугольника в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, $\angle 1 + \angle BCA = 180^\circ$. Из этого соотношения мы можем найти угол 1, если известен угол $BCA$: $\angle 1 = 180^\circ - \angle BCA$.

а)

Дано, что $\angle ABC = 42^\circ$.

Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем: $\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$.

Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, мы можем переписать это уравнение как: $2 \cdot \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла $ABC$: $2 \cdot \angle BCA + 42^\circ = 180^\circ$.

Теперь решим уравнение относительно $\angle BCA$:

$2 \cdot \angle BCA = 180^\circ - 42^\circ$

$2 \cdot \angle BCA = 138^\circ$

$\angle BCA = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$.

Теперь, зная $\angle BCA$, мы можем найти угол 1, так как они смежные:

$\angle 1 = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$.

Ответ: $111^\circ$.

б)

Дано, что $\angle BAC = 74^\circ$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны:

$\angle BCA = \angle BAC = 74^\circ$.

Угол 1 смежен с углом $\angle BCA$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle 1 = 180^\circ - \angle BCA$.

Подставим найденное значение $\angle BCA$:

$\angle 1 = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

Ответ: $106^\circ$.