Номер 20.12, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.12. Один из внешних углов треугольника равен $120^{\circ}$, а разность внутренних углов, не смежных с ним, равна $40^{\circ}$. Найдите градусные меры внутренних углов треугольника.

Пусть внутренние углы треугольника будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Один из внешних углов треугольника равен $120^\circ$. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. Допустим, внешний угол в $120^\circ$ смежен с углом $\gamma$. Тогда мы можем найти величину угла $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, их сумма равна величине внешнего угла:

$\alpha + \beta = 120^\circ$

В условии также сказано, что разность этих двух углов равна $40^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — больший из этих двух углов. Тогда:

$\alpha - \beta = 40^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $\alpha$ и $\beta$:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 120^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 120^\circ + 40^\circ$

$2\alpha = 160^\circ$

$\alpha = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

Теперь, зная значение $\alpha$, найдем $\beta$, подставив это значение в первое уравнение системы:

$80^\circ + \beta = 120^\circ$

$\beta = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ$

Таким образом, мы нашли все три внутренних угла треугольника: $80^\circ$, $40^\circ$ и $60^\circ$.

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи:

• Сумма углов треугольника: $80^\circ + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Верно.
• Внешний угол, смежный с углом $60^\circ$: $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Верно.
• Разность двух других углов: $80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$. Верно.

Ответ: градусные меры внутренних углов треугольника равны $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$.