Номер 21.5, страница 44 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.5. В треугольнике $ABC$ $\angle B = 60^\circ$. Внутри треугольника отмечена точка $O$, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник $AOC$ является тупоугольным.

По условию задачи, точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$. Это означает, что отрезки, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны: $OA = OB = OC$. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, является центром описанной около него окружности.

Рассмотрим эту описанную окружность с центром в точке $O$. Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AC$. Угол $\angle AOC$ является центральным углом, который опирается на ту же дугу $AC$.

Поскольку по условию точка $O$ находится внутри треугольника, то для нахождения величины центрального угла можно использовать теорему о соотношении центрального и вписанного углов. Согласно этой теореме, градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
$\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$

Из условия задачи известно, что $\angle ABC = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу:
$\angle AOC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов больше $90^\circ$. В треугольнике $AOC$ мы нашли угол $\angle AOC = 120^\circ$. Так как $120^\circ > 90^\circ$, то треугольник $AOC$ является тупоугольным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $AOC$ является тупоугольным.