Номер 20.2, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.2. Могут ли быть равными все внешние углы треугольника?

Да, все внешние углы треугольника могут быть равными. Это возможно в случае, если треугольник является равносторонним.

Рассмотрим это утверждение. Внешний угол треугольника при любой вершине является смежным с внутренним углом при той же вершине, и их сумма равна $180^\circ$. Пусть внутренние углы треугольника — это $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда соответствующие им внешние углы равны $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$ и $180^\circ - \gamma$.

Если мы предположим, что все внешние углы равны, то получим равенство:

$180^\circ - \alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - \gamma$

Из этого следует, что все внутренние углы треугольника также должны быть равны между собой:

$\alpha = \beta = \gamma$

Треугольник, у которого все углы равны, — это равносторонний треугольник. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для равностороннего треугольника каждый внутренний угол будет равен:

$\alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Поскольку равносторонний треугольник существует, то существует и треугольник с равными внешними углами. Величина каждого такого внешнего угла будет равна:

Внешний угол = $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Также можно рассуждать, используя теорему о сумме внешних углов многоугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Если все три внешних угла треугольника равны, то каждый из них должен быть равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Тогда соответствующий внутренний угол будет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Треугольник с тремя углами по $60^\circ$ является равносторонним, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Да, могут. Это верно для равностороннего треугольника, у которого каждый внешний угол равен $120^\circ$.