Номер 19.14, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.14. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$ (рис. 80).

Найдите $\angle ABD$, если $AC = BC$ и $\angle BCA = 42^\circ$.

Рис. 80

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle ABC$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Используя это свойство для треугольника $ABC$ и зная, что $\angle BCA = 42^\circ$, мы можем найти углы при основании:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC + 42^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 42^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 138^\circ$
$\angle BAC = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$

Далее рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $BD$ — высота, проведенная к стороне $AC$, то угол $\angle BDA$ является прямым, то есть $\angle BDA = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABD$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Угол $\angle BAD$ совпадает с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle BAD = 69^\circ$. Можем найти искомый угол $\angle ABD$:
$\angle ABD + \angle BAD = 90^\circ$
$\angle ABD + 69^\circ = 90^\circ$
$\angle ABD = 90^\circ - 69^\circ$
$\angle ABD = 21^\circ$

Ответ: $21^\circ$.