Номер 19.11, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.11. Найдите градусные меры углов равнобедренного треугольника, если:

a) один из его углов равен $96^\circ$;

б) один из его углов равен $50^\circ$.

а) один из его углов равен 96°

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника всегда равна $180°$. Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, является ли данный угол углом при основании или углом при вершине.

Случай 1: Угол при основании равен $96°$.

Если один из углов при основании равен $96°$, то и второй угол при основании должен быть равен $96°$. Сумма этих двух углов составит $96° + 96° = 192°$. Это больше, чем $180°$, что является суммой всех углов в любом треугольнике. Следовательно, этот случай невозможен. Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым или прямым.

Случай 2: Угол при вершине равен $96°$.

Пусть угол при вершине (угол, лежащий напротив основания) равен $96°$. Два других угла (углы при основании) равны между собой. Обозначим меру каждого из этих углов за $x$.

Сумма углов треугольника: $x + x + 96° = 180°$.

Решим уравнение:

$2x = 180° - 96°$

$2x = 84°$

$x = \frac{84°}{2}$

$x = 42°$

Таким образом, углы при основании равны по $42°$. Проверим: $42° + 42° + 96° = 84° + 96° = 180°$. Это верное и единственно возможное решение для данного случая.

Ответ: $96°, 42°, 42°$.

б) один из его углов равен 50°

Так как угол $50°$ является острым (меньше $90°$), он может быть как углом при вершине, так и углом при основании. Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: Угол при вершине равен $50°$.

Если угол при вершине равен $50°$, то два угла при основании равны. Обозначим их за $x$.

Составим уравнение, исходя из суммы углов треугольника:

$x + x + 50° = 180°$

$2x = 180° - 50°$

$2x = 130°$

$x = \frac{130°}{2}$

$x = 65°$

В этом случае углы треугольника равны $50°, 65°, 65°$. Проверка: $50° + 65° + 65° = 180°$.

Случай 2: Угол при основании равен $50°$.

Если один из углов при основании равен $50°$, то и второй угол при основании также равен $50°$. Обозначим третий угол (угол при вершине) за $y$.

Составим уравнение:

$50° + 50° + y = 180°$

$100° + y = 180°$

$y = 180° - 100°$

$y = 80°$

В этом случае углы треугольника равны $50°, 50°, 80°$. Проверка: $50° + 50° + 80° = 180°$.

Таким образом, для данного условия существует два возможных набора углов.

Ответ: $50°, 65°, 65°$ или $50°, 50°, 80°$.