Номер 19.16, страница 41 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.16. В треугольнике ABC отрезок CK — биссектриса. Найдите углы треугольника АКС, если известно, что $AK = BK$ и $\angle ABC = 40^\circ$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $CK$ является биссектрисой. Также дано, что $AK = BK$, что означает, что $CK$ является и медианой, проведенной к стороне $AB$.

В треугольнике есть свойство: если медиана и биссектриса, проведенные из одной и той же вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ и равными боковыми сторонами $AC = BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AB$, поэтому углы при нем равны: $\angle BAC = \angle ABC$.

Поскольку по условию $\angle ABC = 40^\circ$, то и $\angle BAC = 40^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $C$:

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Теперь мы можем найти все углы треугольника $AKC$.

Угол KAC

Угол $\angle KAC$ треугольника $AKC$ совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $ABC$. Следовательно, $\angle KAC = 40^\circ$.

Угол ACK

Поскольку $CK$ является биссектрисой угла $\angle ACB$, она делит этот угол пополам. Следовательно, $\angle ACK = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$.

Угол AKC

Сумма углов в треугольнике $AKC$ составляет $180^\circ$. Зная два других угла, находим третий: $\angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle ACK) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Также стоит отметить, что в равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса $CK$, проведенная к основанию, является также и высотой. Это означает, что $CK \perp AB$, и, следовательно, угол $\angle AKC$ является прямым.

Ответ: углы треугольника $AKC$ равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.