Номер 19.9, страница 40 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.9. В треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведена биссектриса $AD$ (рис. 76). Найдите градусную меру угла $ADB$, если $\angle BCA = 70^\circ$, $AB = BC$.

Рис. 76

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.
Свойство равнобедренного треугольника гласит, что углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.
Из условия известно, что $\angle BCA = 70^\circ$, поэтому $\angle BAC$ также равен $70^\circ$.
Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $B$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, $\angle BAD$ равен половине угла $\angle BAC$:
$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем два его угла: $\angle BAD = 35^\circ$ и $\angle ABD = 40^\circ$.
Найдем третий угол этого треугольника, $\angle ADB$, используя теорему о сумме углов треугольника:
$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (35^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Ответ: $105^\circ$.