Номер 18.2, страница 37 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.2. a) На рисунке 72 изображены острые углы $BAC$ и $DEF$ с соответственно перпендикулярными сторонами. Определите, чему равен угол $DEF$, если $\angle BAC = 40^\circ$.

б) На рисунке 73 изображены острый угол $ABC$ и тупой угол $DEF$ с соответственно перпендикулярными сторонами. Определите, чему равен угол $DEF$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

а)

По условию задачи, стороны угла $DEF$ перпендикулярны сторонам угла $BAC$. Это означает, что прямая $DE$ перпендикулярна прямой $AC$, а прямая $EF$ перпендикулярна прямой $AB$. Нам дано, что $\angle BAC = 40^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых $AB$, $DE$ и $EF$. Обозначим точки пересечения следующим образом:

• Пусть $G$ — точка пересечения прямых $AB$ и $DE$.
• Пусть $H$ — точка пересечения прямых $AB$ и $EF$.
• Вершина угла $DEF$ — точка $E$.

Таким образом, мы получили треугольник $EGH$. Найдем его углы, чтобы определить искомый угол $\angle DEF$, который является углом этого треугольника при вершине $E$ (или смежным с ним, но в данном случае, судя по рисунку, является внутренним углом $\angle GEH$).

1. Сначала найдем угол при вершине $G$, то есть $\angle EGH$. Для этого рассмотрим треугольник $ADG$, где $D$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AC$, как показано на рисунке. В треугольнике $ADG$:

• $\angle DAG = \angle BAC = 40^{\circ}$ (по условию).
• $\angle ADG = 90^{\circ}$, так как по условию $DE \perp AC$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому:
$\angle AGD = 180^{\circ} - \angle DAG - \angle ADG = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$.

Угол $\angle EGH$ в треугольнике $EGH$ является углом между прямыми $AB$ и $DE$. В зависимости от расположения точек он может быть равен $\angle AGD$ или быть смежным с ним. Судя по рисунку, где оба исходных угла острые, внутренний угол треугольника $EGH$ при вершине $G$ равен $\angle AGD$. Итак, $\angle EGH = 50^{\circ}$.

2. Теперь найдем угол при вершине $H$. По условию $EF \perp AB$. Это означает, что угол между прямыми $EF$ и $AB$ равен $90^{\circ}$. Следовательно, угол в треугольнике $EGH$ при вершине $H$ равен $\angle EHG = 90^{\circ}$.

3. Наконец, найдем угол при вершине $E$ в треугольнике $EGH$, который и является искомым углом $\angle DEF$ (или $\angle GEH$). Сумма углов в треугольнике $EGH$ равна $180^{\circ}$:
$\angle GEH + \angle EGH + \angle EHG = 180^{\circ}$
$\angle GEH + 50^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle GEH + 140^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle GEH = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.

Следовательно, $\angle DEF = 40^{\circ}$.

Примечание: Существует теорема о том, что углы с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны (если они оба острые или оба тупые), либо их сумма равна $180^{\circ}$ (если один острый, а другой тупой). Так как в условии сказано, что оба угла острые, они должны быть равны.

Ответ: $40^{\circ}$.

б)

По условию, стороны угла $DEF$ перпендикулярны сторонам угла $ABC$. Это означает, что прямая $DE$ перпендикулярна прямой $AB$, а прямая $EF$ перпендикулярна прямой $BC$. Нам дано, что $\angle ABC = 60^{\circ}$, и он является острым, а угол $\angle DEF$ — тупой.

Рассмотрим четырехугольник $BDFE$, образованный точками пересечения сторон углов.

• $B$ — вершина угла $ABC$.
• $D$ — точка пересечения $DE$ и $AB$.
• $E$ — вершина угла $DEF$.
• $F$ — точка пересечения $EF$ и $BC$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$. Найдем углы четырехугольника $BDFE$:

• $\angle FBD = \angle ABC = 60^{\circ}$ (по условию).
• $\angle BDE = 90^{\circ}$, так как по условию $DE \perp AB$.
• $\angle BFE = 90^{\circ}$, так как по условию $EF \perp BC$.
• $\angle DEF$ — искомый угол.

Запишем сумму углов четырехугольника $BDFE$:
$\angle FBD + \angle BDE + \angle DEF + \angle EFB = 360^{\circ}$
$60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle DEF + 90^{\circ} = 360^{\circ}$
$240^{\circ} + \angle DEF = 360^{\circ}$
$\angle DEF = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$.

Полученное значение $120^{\circ}$ соответствует условию, что угол $\angle DEF$ является тупым.

Примечание: Как и в предыдущей задаче, можно применить теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. Поскольку один угол ($\angle ABC=60^{\circ}$) острый, а другой ($\angle DEF$) тупой, их сумма должна быть равна $180^{\circ}$.
$\angle ABC + \angle DEF = 180^{\circ}$
$60^{\circ} + \angle DEF = 180^{\circ}$
$\angle DEF = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.