Номер 14.3, страница 31 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.3. Серединный перпендикуляр к боковой стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите основание $AC$, если $AB = 12$ см, а периметр треугольника $AKC$ равен $22$ см.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а $AB$ — его боковая сторона. Это означает, что боковые стороны равны: $AB = BC$. Так как $AB = 12$ см, то и $BC = 12$ см.

К боковой стороне $AB$ проведен серединный перпендикуляр. Обозначим его $m$. По определению, серединный перпендикуляр — это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Важнейшее свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Из условия мы знаем, что серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Поскольку точка $K$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$, она равноудалена от его концов, то есть от точек $A$ и $B$. Следовательно, мы можем записать равенство: $AK = BK$.

Рассмотрим периметр треугольника $AKC$. Периметр — это сумма длин всех его сторон:

$P_{AKC} = AK + KC + AC$

Используя установленное нами равенство $AK = BK$, мы можем произвести замену в формуле периметра:

$P_{AKC} = BK + KC + AC$

Обратим внимание, что точка $K$ лежит на стороне $BC$. Это значит, что сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BK$ и $KC$. Таким образом, их сумма равна длине всей стороны $BC$:

$BK + KC = BC$

Подставим это соотношение в нашу формулу для периметра треугольника $AKC$:

$P_{AKC} = (BK + KC) + AC = BC + AC$

Теперь у нас есть простое уравнение, в котором нам известны две величины из трех. Из условия задачи мы знаем, что $P_{AKC} = 22$ см, а длину $BC$ мы определили ранее: $BC = 12$ см. Подставим эти значения в уравнение:

$22 = 12 + AC$

Остается только найти длину основания $AC$:

$AC = 22 - 12$

$AC = 10$ см

Ответ: 10 см.