Номер 13.1, страница 29 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.1. В равнобедренных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с основаниями $AC$ и $A_1C_1$ соответственно, точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $M_1$ — середина стороны $B_1C_1$ (рис. 50).

Докажите, что:

а) $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$ и $AM = A_1M_1$;

б) $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, если $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.

Рис. 50

По условию задачи даны два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с основаниями $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что боковые стороны в каждом треугольнике равны: $AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, а точка $M_1$ — середина стороны $B_1C_1$. Это означает, что $BM = MC = \frac{1}{2}BC$ и $B_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Линии $AM$ и $A_1M_1$ являются медианами к сторонам $BC$ и $B_1C_1$ соответственно.

а) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$ и $AM = A_1M_1$.

Доказательство.
Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. По условию $AB = A_1B_1$. Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равнобедренные, то $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Из условия $AB = A_1B_1$ следует, что $BC = B_1C_1$. Так как $M$ и $M_1$ — середины равных сторон $BC$ и $B_1C_1$, то их половины также равны: $BM = \frac{1}{2}BC = B_1M_1$. Также по условию $AM = A_1M_1$. Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABM$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($AB = A_1B_1$, $BM = B_1M_1$, $AM = A_1M_1$). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle B = \angle B_1$.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем: $AB = A_1B_1$ (по условию), $BC = B_1C_1$ (как доказано выше) и $\angle B = \angle B_1$ (также доказано выше). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажите, что $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, если $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.

Доказательство.
Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$. Так как треугольники равнобедренные с основаниями $AC$ и $A_1C_1$, то $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Из равенства $AB = A_1B_1$ следует, что и $BC = B_1C_1$. Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle B = \angle B_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Мы имеем: $AB = A_1B_1$ (по условию) и $\angle B = \angle B_1$ (как доказано выше). Сторона $BM = \frac{1}{2}BC$ и сторона $B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1$. Поскольку $BC = B_1C_1$, то и $BM = B_1M_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.