Номер 12.8, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.8. В треугольнике $ABC$ (рис. 45) высота $BO$ делит сторону $AC$ пополам. Найдите градусную меру угла $BAC$, если $\angle BCA = 56^\circ$.

Рис. 45

12.8.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что отрезок $BO$ является высотой к стороне $AC$. Это означает, что $BO$ перпендикулярен $AC$, и, следовательно, углы $\angle BOA$ и $\angle BOC$ являются прямыми:

$\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$

Также по условию задачи высота $BO$ делит сторону $AC$ пополам. Это означает, что $BO$ является также и медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $AC$, и выполняется равенство:

$AO = OC$

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.

• Сторона $BO$ — общая для обоих треугольников.
• Катет $AO$ треугольника $ABO$ равен катету $CO$ треугольника $CBO$ ($AO = CO$).

Поскольку два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны. Также можно сослаться на первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $AO = CO$, $BO$ — общая сторона, а $\angle BOA = \angle BOC = 90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABO = \triangle CBO$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Нас интересует угол $\angle BAC$ (или $\angle BAO$) и угол $\angle BCA$ (или $\angle BCO$). Так как это соответственные углы в равных треугольниках, они равны:

$\angle BAC = \angle BCA$

По условию задачи нам известна градусная мера угла $\angle BCA$:

$\angle BCA = 56^\circ$

Следовательно, искомый угол $\angle BAC$ также равен $56^\circ$.

Альтернативное рассуждение: В треугольнике $ABC$ отрезок $BO$ является одновременно высотой и медианой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота, проведенная к стороне, является также и медианой, то этот треугольник — равнобедренный. В нашем случае треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Так как $\angle BCA = 56^\circ$, то и $\angle BAC = 56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$