Номер 13.2, страница 29 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.2. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны медианы $BK$ и $B_1K_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что медианы $BK$ и $B_1K_1$ равны, то есть $BK = B_1K_1$. Также равны соответствующие стороны: $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$. Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По определению медианы, отрезок $BK$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AC$. Следовательно, точка $K$ — середина стороны $AC$, и $AK = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, $B_1K_1$ — медиана в $\triangle A_1B_1C_1$, значит, $K_1$ — середина стороны $A_1C_1$, и $A_1K_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AK = A_1K_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle A_1B_1K_1$. Сравним их стороны:

• $AB = A_1B_1$ (по условию задачи).
• $BK = B_1K_1$ (по условию задачи).
• $AK = A_1K_1$ (как было доказано выше).

Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то $\triangle ABK \cong \triangle A_1B_1K_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle A_1B_1K_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAK = \angle B_1A_1K_1$. Угол $\angle BAK$ — это то же самое, что угол $\angle BAC$ в треугольнике $ABC$, а угол $\angle B_1A_1K_1$ — то же самое, что угол $\angle B_1A_1C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$. Следовательно, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Наконец, рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них:

• $AB = A_1B_1$ (по условию).
• $AC = A_1C_1$ (по условию).
• $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (как доказано выше).

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ABC$ равны соответственно двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1B_1C_1$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.