Номер 14.1, страница 30 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.1. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ (или ее продолжении) найдите точку, одинаково удаленную от вершин $A$ и $C$.

14.1.

Пусть искомая точка, принадлежащая прямой, содержащей сторону AB, обозначается как X. Согласно условию, точка X должна быть равноудалена от вершин A и C, что математически выражается равенством $AX = CX$.

Множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от двух заданных точек (в данном случае A и C), образует прямую, называемую серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (то есть к отрезку AC).

Таким образом, искомая точка X должна одновременно принадлежать двум прямым:
• прямой, содержащей сторону AB (согласно условию);
• серединному перпендикуляру к отрезку AC (согласно свойству равноудаленных точек).

Следовательно, искомая точка X является точкой пересечения прямой AB и серединного перпендикуляра к отрезку AC. Для ее нахождения необходимо построить этот серединный перпендикуляр и найти, где он пересекает прямую AB.

Как правило, две различные непараллельные прямые пересекаются в одной-единственной точке, поэтому задача имеет уникальное решение. Исключением является случай, когда прямая AB параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AC. Это происходит тогда и только тогда, когда отрезок AC перпендикулярен прямой AB ($AC \perp AB$). В этом случае прямые не пересекаются, и задача не имеет решения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой, содержащей сторону AB, с серединным перпендикуляром к отрезку AC.