Номер 13.5, страница 30 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.5*. Известно, что $\triangle ABC = \triangle MNK$ и $AB \ne MK, BC \ne MN, CA \ne KN$. Возможно ли это?

Да, такая ситуация возможна.

Запись $\triangle ABC = \triangle MNK$ означает, что треугольники равны, при этом важен порядок указания вершин, так как он определяет соответствие элементов. Из данного равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон:

$AB = MN$ (сторона между 1-й и 2-й вершинами)
$BC = NK$ (сторона между 2-й и 3-й вершинами)
$CA = KM$ (сторона между 3-й и 1-й вершинами)

По условию задачи также даны следующие три неравенства:

$AB \neq MK$
$BC \neq MN$
$CA \neq KN$

Теперь совместим эти два набора условий. Для этого подставим равенства сторон, следующие из конгруэнтности треугольников, в данные неравенства:

1. Из условия $AB \neq MK$ и равенства $CA = KM$ следует, что $AB \neq CA$.
2. Из условия $BC \neq MN$ и равенства $AB = MN$ следует, что $BC \neq AB$.
3. Из условия $CA \neq KN$ и равенства $BC = NK$ следует, что $CA \neq BC$.

Таким образом, мы получили, что для одновременного выполнения всех условий задачи необходимо, чтобы все три стороны треугольника $ABC$ имели разную длину: $AB \neq BC \neq CA$. То есть треугольник $ABC$ (а значит и равный ему треугольник $MNK$) должен быть разносторонним.

Если треугольник разносторонний, то все условия будут выполнены. Например, пусть стороны треугольника $ABC$ равны 3, 4 и 5: $AB=3$, $BC=4$, $CA=5$.

Тогда из равенства $\triangle ABC = \triangle MNK$ следует, что $MN=3$, $NK=4$, $MK=5$.

Проверим выполнение исходных неравенств:

$AB \neq MK \Rightarrow 3 \neq 5$ (верно)
$BC \neq MN \Rightarrow 4 \neq 3$ (верно)
$CA \neq KN \Rightarrow 5 \neq 4$ (верно)

Все условия выполняются, следовательно, описанная в задаче ситуация возможна.

Ответ: Да, это возможно, если треугольники являются разносторонними.