Номер 12.10, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.10. В треугольнике ABC (рис. 47) $OB = BC = AO$. Найдите градусную меру угла AOD, если $\angle ACB = 64^{\circ}$ и $AD = BD$.

Рис. 47

Рассмотрим треугольник $OBC$. По условию задачи стороны $OB$ и $BC$ равны ($OB = BC$). Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $OB$, — это $\angle BCO$ (который совпадает с $\angle ACB$). Угол, противолежащий стороне $BC$, — это $\angle BOC$.

Следовательно, $\angle BOC = \angle BCO$.

По условию $\angle ACB = 64^\circ$, значит, $\angle BCO = 64^\circ$, и тогда $\angle BOC = 64^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $OBC$ равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle OBC$:

$\angle OBC = 180^\circ - (\angle BOC + \angle BCO) = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. По условию $AO = OB$, следовательно, он также является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle OAB = \angle OBA$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим большой треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$.

Выразим углы треугольника $ABC$ через $\alpha$:

$\angle BAC = \angle OAB = \alpha$.

$\angle ACB = 64^\circ$ (по условию).

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = \alpha + 52^\circ$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов:

$\alpha + (\alpha + 52^\circ) + 64^\circ = 180^\circ$

$2\alpha + 116^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ - 116^\circ$

$2\alpha = 64^\circ$

$\alpha = 32^\circ$.

Таким образом, мы нашли углы при основании треугольника $AOB$: $\angle OAB = \angle OBA = 32^\circ$.

Теперь найдем угол при вершине $O$ в треугольнике $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

По условию задачи $AD = BD$. Это значит, что точка $D$ — середина стороны $AB$ треугольника $AOB$. Следовательно, отрезок $OD$ является медианой, проведенной к основанию $AB$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Это означает, что $OD$ делит угол $\angle AOB$ на два равных угла:

$\angle AOD = \angle BOD = \frac{1}{2}\angle AOB$.

Вычислим искомый угол $\angle AOD$:

$\angle AOD = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$.

Ответ: $58^\circ$.