Номер 13.3, страница 30 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

Рис. 51

13.3. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис. 51) $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Докажите, что $\triangle BOC = \triangle B_1O_1C_1$, где $O$ — точка пересечения биссектрис $BM$ и $CD$ треугольника $ABC$, а $O_1$ — точка пересечения биссектрис $B_1M_1$ и $C_1D_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи нам дано, что их соответствующие стороны равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.

1. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересуют углы при основании $BC$ и $B_1C_1$: $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или просто $\angle B = \angle B_1$) и $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$ (или просто $\angle C = \angle C_1$).

3. Теперь рассмотрим треугольники $BOC$ и $B_1O_1C_1$. Нам нужно доказать их равенство. Воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Сторона $BC$ в $\triangle BOC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle B_1O_1C_1$ по условию задачи.

5. По условию, $O$ — точка пересечения биссектрис $BM$ и $CD$. Это означает, что $BO$ является частью биссектрисы угла $\angle B$, а $CO$ — частью биссектрисы угла $\angle C$.
Следовательно, угол $\angle OBC$ равен половине угла $\angle B$: $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B$.
Аналогично, угол $\angle OCB$ равен половине угла $\angle C$: $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C$.

6. Точно так же для треугольника $A_1B_1C_1$, $O_1$ — точка пересечения биссектрис $B_1M_1$ и $C_1D_1$.
Следовательно, $\angle O_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle B_1$ и $\angle O_1C_1B_1 = \frac{1}{2} \angle C_1$.

7. Сравнивая углы, получаем:
Поскольку $\angle B = \angle B_1$, то и их половины равны: $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \angle B_1 = \angle O_1B_1C_1$.
Поскольку $\angle C = \angle C_1$, то и их половины равны: $\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \angle C_1 = \angle O_1C_1B_1$.

8. Таким образом, в треугольниках $BOC$ и $B_1O_1C_1$ мы имеем:
- $BC = B_1C_1$ (по условию);
- $\angle OBC = \angle O_1B_1C_1$ (как половины равных углов);
- $\angle OCB = \angle O_1C_1B_1$ (как половины равных углов).
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle BOC \cong \triangle B_1O_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle B_1O_1C_1$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ (по трем сторонам) и определения биссектрисы угла. Треугольники $BOC$ и $B_1O_1C_1$ равны по второму признаку равенства (по стороне $BC=B_1C_1$ и двум прилежащим углам $\angle OBC = \angle O_1B_1C_1$ и $\angle OCB = \angle O_1C_1B_1$).