Номер 13.4, страница 30 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.4. Стороны $AD$ и $KB$ углов $BAD$ и $DKB$ соответственно пересекаются в точке $C$ (рис. 52). Докажите, что $\triangle ABC = \triangle KCD$, если $AD = KB, AB = KD$.

Рис. 52

Для доказательства того, что $\triangle ABC = \triangle KCD$, выполним доказательство в несколько шагов.

1. Доказательство равенства треугольников $\triangle ADK$ и $\triangle KBA$

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle KBA$. Сравним их стороны:

• $AD = KB$ (по условию задачи)
• $AB = KD$ (по условию задачи)
• $AK$ — общая сторона для обоих треугольников

Так как три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $\triangle ADK = \triangle KBA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Нахождение равных углов из доказанного равенства

Из равенства треугольников $\triangle ADK = \triangle KBA$ следует, что их соответствующие углы также равны:

• $\angle KBA = \angle ADK$, так как они лежат напротив общей стороны $AK$. Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle KCD$ это означает, что $\angle ABC = \angle KDC$.
• $\angle KAB = \angle AKD$, так как они лежат напротив соответственно равных сторон $KB$ и $AD$. Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle KCD$ это означает, что $\angle BAC = \angle DKC$.

3. Доказательство равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle KCD$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KCD$. Сравним их элементы:

• $AB = KD$ (по условию задачи)
• $\angle ABC = \angle KDC$ (как было доказано в шаге 2)
• $\angle BAC = \angle DKC$ (как было доказано в шаге 2)

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle KCD$).

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle KCD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle KCD$ доказано.