Номер 12.9, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.9. В треугольнике $ABC$ (рис. 46) $AB = BC = EC$. Найдите градусную меру угла $DCE$, если $\angle BAC = 40^\circ$ и $BD = ED$.

Рис. 46

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как нам дано, что $\angle BAC = 40^\circ$, то и $\angle BCA = \angle BAC = 40^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол при вершине $B$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $BCE$. По условию, $BC = EC$, следовательно, треугольник $BCE$ также является равнобедренным, но с основанием $BE$. Точка $E$ лежит на стороне $AC$ (согласно рисунку), поэтому угол при вершине $C$ в этом треугольнике $\angle BCE$ совпадает с углом $\angle BCA$, то есть $\angle BCE = 40^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $BCE$ углы при основании $BE$ равны. Найдем их величину:
$\angle CBE = \angle CEB = \frac{180^\circ - \angle BCE}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$.

3. Теперь используем последнее условие: $BD = ED$. Это означает, что треугольник $BDE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Стороне $ED$ противолежит угол $\angle DBE$, а стороне $BD$ противолежит угол $\angle DEB$. Таким образом, $\angle DBE = \angle DEB$.

Согласно рисунку, точка $D$ лежит на стороне $BC$. Это означает, что угол $\angle DBE$ является тем же углом, что и $\angle CBE$. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle CBE = 70^\circ$. Следовательно, $\angle DBE = 70^\circ$.

Так как $\angle DEB = \angle DBE$, то $\angle DEB = 70^\circ$.

4. Теперь проанализируем углы при вершине $E$, которая лежит на прямой $AC$. Мы получили, что $\angle CEB = 70^\circ$ и $\angle DEB = 70^\circ$. Оба этих угла имеют общую сторону $EB$.

Это равенство возможно в двух случаях:
а) Лучи $EC$ и $ED$ совпадают. В этом случае угол между ними $\angle DEC = 0^\circ$.
б) Лучи $EC$ и $ED$ лежат по разные стороны от прямой $EB$. Тогда угол $\angle DEC = \angle CEB + \angle DEB = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$.

Рассмотрим случай (б). Если $\angle DEC = 140^\circ$, то в треугольнике $DCE$ мы имеем $\angle DCE = \angle BCA = 40^\circ$ и $\angle DEC = 140^\circ$. Сумма этих двух углов уже составляет $40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$. Это невозможно, так как сумма всех трех углов треугольника должна быть равна $180^\circ$, что означало бы, что третий угол $\angle CDE = 0^\circ$, и треугольник вырождается в отрезок, что противоречит тому, что $\angle DEC = 140^\circ$.

Следовательно, верным может быть только случай (а): $\angle DEC = 0^\circ$. Это означает, что точки $D$, $E$, $C$ лежат на одной прямой.

5. Мы знаем, что точка $D$ лежит на прямой $BC$ и, как мы только что выяснили, она также лежит на прямой $EC$. Точка пересечения прямых $BC$ и $EC$ (которая является частью прямой $AC$) — это точка $C$. Таким образом, точка $D$ должна совпадать с точкой $C$.

6. Нам нужно найти градусную меру угла $\angle DCE$. Поскольку точка $D$ совпадает с точкой $C$, искомый угол — это $\angle CCE$, который по определению равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.